Sergio Galvan 
Introduzione ai Sistemi dell’Aritmetica [PDF ebook] 

«L’aritmetica è il cuore della matematica. Essa è la disciplina che studia la struttura dei numeri naturali. L’aritmetica non è tuttavia costituita da una unica teoria. Le leggi dei numeri naturali si possono inquadrare in una gerarchia di teorie che partendo dal sistema elementare Q arrivano fino ai sistemi molto potenti dell’aritmetica degli ordini superiori. Burgess traccia nelle prime pagine di Burgess (2005) l’intero arco di tali sistemi e ne fornisce uno schema esauriente alla fine del lavoro. Nel presente volume sono trattati solo alcuni sottosistemi dell’aritme­tica del primo ordine, a partire dal sistema di Robinson Q fino al siste­ma dell’aritmetica di Peano PA. La trattazione di questi sistemi si articola nella presentazione del sistema (assiomi o regole specifiche) e nella derivazione all’interno di ciascuno di essi dei teoremi relativi. L’aritmetica di Peano risulta così spalmata sulla serie dei sottosistemi di PA: Q, Iop, IA0, IS1, di cui ciascuno è estensione del sistema precedente secondo l’ordine della serie, e di alcune estensioni ricorsive primitive di IA0. La trattazione dell’aritmetica all’interno di questi sistemi avviene in parte attraverso l’uso del ^-operatore. I sistemi IA0 e IS1 costruiti secondo il metodo del ^-operatore (vale a dire IA0u e E1p.) presentano un vantaggio pratico insostituibile nella pratica della derivazione. E1 (in particolare nella versione con ^-operatore) è, tra tutti, il sistema più importante. Infatti E1 è equivalente al sistema dell’aritmetica ricorsiva primitiva (con quantificatori), nel senso che tutte le funzioni ricorsive primitive – tipiche di PRA – sono definibili in E1 e che le funzioni definibili in IS1 coincidono esattamente con le funzioni ricorsive primitive. Nel presente lavoro viene dimostrata la prima parte di tale equivalenza. Dalla seconda segue la conservatività di E1 su PRA (e, conseguentemente, sul sistema PR di Skolem dell’aritmetica ricorsiva primitiva senza quantificatori) rispetto alle formule di complessità n2. I teoremi di IS1 esprimibili nel linguaggio di PR sono perciò teoremi della aritmetica ricorsiva primitiva. Tali argomenti sono svolti nelle prime 5 sezioni.

Nella sezione 6 sono derivati alcuni risultati necessari per derivare le tre condizioni di derivabilità dei teoremi di incompletezza. Queste sono derivate nella sezione successiva. La dimostrazione è svolta all’interno di opportune estensioni ricorsive primitive di IA0. Nella sezione 8 è sviluppata la teoria formale della verità per PA ed è derivato il teorema di Tarski.

Il presente volume è il risultato di una rielaborazione profonda del volume Galvan (2007). Sono innanzitutto aggiunte le sezioni 6-8. Inoltre il testo è corredato di 6 appendici che approfondiscono i rapporti tra le singole teorie aritmetiche. Tra queste appendici le prime tre mettono a fuoco il tema della interpretabilità delle teorie aritmetiche in Q, attraverso la individuazione di specifici
cuts nella struttura dei numeri naturali. Altre approfondiscono il significato dei vari frammenti dell’aritmetica in ordine alla formalizzazione delle diverse posizioni fondazionali: ultrafinitismo, finitismo e infinitismo. La derivazione di molti teoremi è ripresa, con modificazioni, correzioni e integrazioni, da Galvan (1983), ove, tuttavia, essi sono presentati secondo una diversa classificazione. All’inizio vengono fornite le regole fondamentali del calcolo usato per la formalizzazione dell’aritmetica. Una trattazione più ampia del calcolo si trova in Galvan (1992), pp. 17-62.» 

Dalla prefazione dell’Autore.