A cualquier matemático, tanto principiante como aficionado o profesional, le emociona encontrar soluciones sencillas y elegantes para problemas aparentemente difíciles. Estas soluciones ‘felices’ son denominadas ‘soluciones ¡Ajá!’, una expresión popularizada por el matemático y científico Martin Gardner.Este libro consta de 100 problemas con soluciones ¡Ajá! de aritmética, geometría, álgebra, cálculo, probabilidad, teoría de números y combinatoria. Al principio son fáciles y se van volviendo más difíciles, a medida que se avanza.Además cuenta con problemas extras que se resuelven con técnicas similares a las utilizadas en el problema al que acompañan. Y si el lector no recuerda una definición o un concepto matemático, puede consultar la ‘Caja de herramientas’ que aparece al final.Esta colección de problemas con soluciones ¡Ajá! puede resultar de interés para alumnos, profesores y todo aquel a quien le gusten los retos matemáticos. Las soluciones ¡Ajá! son sorprendentes, impresionantes y brillantes: revelan la belleza de las matemáticas.
Table of Content
Prefacio Capítulo 1 – Problemas elementales 1.1 Aritmética *Reparto justo- Extra: Reparto de cajas de galletas*Una simple fracción -Extra: Fracciones mediadoras*Una suma larga-Extra: La suma de una progresión aritmética*Sumas de enteros consecutivos -Extra: Encontrando un polinomio*Sumando y restando-Extra: Identidades curiosas*¿Cuál es mayor? -Extra: Una ecuación diofántica*Reducir el tamaño-Extra: Buscando la descomposición en factores primos*Dígitos ordenados-Extra: Dígitos ordenados en un cuadrado*¿Cuál es el siguiente término?- Extra: La enciclopedia on-line de sucesiones de enteros1.2 Álgebra *¿Cómo lo sabe? -Extra: Magia con el reloj*¿Cuánto frío hacía?-Extra: De Celsius a Fahrenheit*Hombre contra tren -Extra: La suma de una serie geométrica*Cuesta arriba y cuesta abajo-Extra: Medias potenciales*¿Cuántas soluciones?- Extra: Distribuciones, particiones y la estimación de Schur1.3 Geometría *Un cuadrilátero en un cuadrilátero-Extra: Una demostración vectorial*El teorema de Pitágoras -Extra: Una demostración solo con un triángulo*Bloques de construcción -Extra: Otro triángulo notable*Una desigualdad geométrica-Extra: Una lúnula cuadrable*Un problema de empaquetamiento-Extra: Cubrimientos con cuadrados unidad*¿Cuál es el área?- Extra: Cálculo por series geométricas*Volumen de un tetraedro -Extra: Grupos de simetrías*¿Es f irracional? – Extra: Irracionalidad de *Tangente de una suma-Extra: Polinomios simétricos elementales1.4 Sin necesidad de cálculo*Un camino en zigzag-Extra: Otro camino en zigzag*Una pila de círculos-Extra: Una suma de áreas*El campo de un granjero-Extra: Una lata de área mínima*Compostaje, un tema candente -Extra: La desigualdad MA-MG*Tres senos -Extra: Funciones convexas Capítulo 2. Problemas de nivel intermedio 2. 1 Álgebra *Pasando el tiempo-Extra: ¿Qué sucede con el segundero?*Sumando hasta 1 000 000-Extra: Sumando hasta cualquier número*Un determinante impar-Extra: ¿Dentro o fuera? *Se busca polinomio – Extra: La fórmula de interpolación de Lagrange2. 2 Geometría *¿Cuánto mide el lado? -Extra: Soluciones enteras*El teorema de Napoleón -Extra: Una demostración algebraica*Un grafo en una rosquilla -Extra: El género de un grafo*Puntos alrededor de una elipse -Extra: El mismo problema para hipérbolas y parábolas*Tres puntos fijos -Extra: Isometrías del plano*Girando y girando-Extra: Un paralelogramo fundamental*Simetrías y giros -Extra: Teselando con triángulos*Cortando y pegando triángulos -Extra: Una familia de triángulos emparejados*Cortando galletas-Extra: El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien*Crédito de revolución – Extra: El caso del paralelogramo giratorio2.3 Cálculo infinitesimal *La serie armónica-Extra: Estimando la suma armónica *Una integral rápida -Extra: Otra integral rápida*La suma de Euler -Extra: La probabilidad de que dos números sean primos entre sí*Alfombrando con bandas -Extra: Cuatro triángulos esféricos*¿Vale 0? -Extra: El último teorema de Fermat*Pi es pi – Extra: La irracionalidad de p2.4 Probabilidad *¿Cuántos cumpleaños? -Extra: El número medio de puntos fijos de una permutación*El promedio de puntos-Extra: Tiempo medio de espera*Bolas restantes en una urna-Extra: Un problema de dos urnas*Puntos aleatorios en una circunferencia -Extra: Arcos aleatorios en una circunferencia*El algoritmo devorador – Extra: Número promedio de ciclos de una permutación2.
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