Hans Grauert & Ingo Lieb 
Differential- und Integralrechnung I. [PDF ebook] 
Funktionen einer reellen Veranderlichen.

Das vorliegende Brich über Funktionen einer reellen Veränderlichen ist der erste Teil einer dreibändigen Darstellung der Differential- und Integralrechnung. In den folgenden Bänden sollen Funktionen mehrerer Veränderlichen, gewöhnliche Differentialgleichungen und Integrations­ theorie behandelt werden. Das Werk ist aus Vorlesungen für Studienanfänger der Mathematik und Physik hervorgegangen. Dem einführenden Charakter dieser Vor­ lesungen gemäß soll auch das Buch einem Leser, der keine Vorkenntnisse in höherer Mathematik besitzt, die Gelegenheit geben, einen möglichst strengen und systematischen Aufbau der Theorie der reellen Funktionen kennen zu lernen. Dementsprechend sind alle Beweise bis in die Einzel­ heiten hinein ausgeführt, und in den ersten Paragraphen werden wich­ tige Beweismethoden eigens erläutert. Dabei nehmen wir jedoch den logischen und mengentheoretischen Gesetzen gegenüber einen ‘naiven’, d. h. nicht-axiomatischen, Standpunkt ein. Das gilt besonders für das Prinzip der vollständigen Induktion und damit auch für den Begriff der natürlichen Zahl und der Folge. Wir geben eine Übersicht über den Inhalt des Buches. Grundlegend ist der Begriff der reellen Zahl. Im ersten Kapitel werden die Axiome des reellen Zahlkörpers mit ihren einfachsten Folge­ rungen ausführlich besprochen; die unendlich fernen Punkte + oo und – oo werden axiomatisch miteingeführt. Die nächsten beiden Kapitel sind dem Umgebungsbegriff und dem darauf fußenden Grenzwertbegriff für Folgen und Reihen gewidmet. Da wir für die Definition der Konvergenz die natürliche (uniforme) Topologie der Zahlengeraden zugrundelegen, bleibt die Konvergenz gegen ± oo ausgeschlossen. -Die Begriffe ‘Iimes superior’ und ‘Iimes inferior’ sind so gefaßt, daß sie mit der Definition der halbstetigen Funktionen harmonieren.