Matthias Kraus & Rolf Kindmann 
Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau [EPUB ebook] 

Vorwort v

Autoren vii

1 Einleitung und Übersicht 1

1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren 1

1.2 Verfahren zur Schnittgrößenermittlung 2

1.3 Elementtypen und Anwendungsbereiche 4

1.4 Lineare und nichtlineare Berechnungen 6

1.5 Bezeichnungen und Annahmen 9

1.6 Grundlegende Beziehungen 15

1.7 Linearisierung 18

1.8 Software/Downloads 21

2 Grundlagen der FEM 22

2.1 Allgemeines 22

2.2 Grundideen und Methodik 22

2.3 Ablauf der Berechnungen 28

2.4 Gleichgewicht 30

2.4.1 Vorbemerkungen 30

2.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit 31

2.4.3 Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie 33

2.4.4 Differentialgleichungen 35

2.5 Ansatzfunktionen für die Verformungen 37

2.5.1 Grundsätzliches 37

2.5.2 Polynomfunktionen für Stabelemente 38

2.5.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen für Stabelemente 41

2.5.4 Ansatzfunktionen für das Plattenbeulen 46

2.5.5 Eindimensionale Funktionen für Querschnitte 50

2.5.6 Zweidimensionale Funktionen für Querschnitte 53

3 FEM für lineare Berechnungen von Stabtragwerken 58

3.1 Vorbemerkungen 58

3.2 Stabelemente für lineare Berechnungen 58

3.2.1 Verknüpfung der Verformungs- und Schnittgrößen 58

3.2.2 Normalkraftbeanspruchungen 60

3.2.3 Biegebeanspruchungen 63

3.2.4 Torsionsbeanspruchungen 66

3.2.5 Beliebige Beanspruchungen 70

3.3 Knotengleichgewicht im globalen Koordinatensystem 73

3.4 Bezugssysteme und Transformationen 76

3.4.1 Problemstellung 76

3.4.2 Stabelemente in der X-Z-Ebene 81

3.4.3 Stabelemente im räumlichen X-Y-Z-KOS 84

3.4.4 Lastgrößen 87

3.4.5 Verdrillung und Wölbbimoment 89

3.4.6 Finite Elemente für beliebige Bezugssysteme 95

3.5 Gleichungssystem 96

3.5.1 Ziel 96

3.5.2 Gesamtsteifigkeitsmatrix 96

3.5.3 Gesamtlastvektor 98

3.5.4 Geometrische Randbedingungen 100

3.6 Berechnung der Verformungsgrößen 102

3.7 Ermittlung der Schnittgrößen 103

3.8 Ermittlung der Auflagerreaktionen 105

3.9 Einwirkungen/Lastgrößen 106

3.9.1 Einzellasten 106

3.9.2 Streckenlasten 106

3.9.3 Stützensenkungen 107

3.9.4 Temperatureinwirkungen 108

3.10 Federn und Schubfelder 109

3.11 Gelenke und Gelenkfedern 113

3.12 Einflusslinien 117

3.13 Übertragungsmatrizenverfahren 121

3.14 Schubweiche Stabelemente 126

4 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stabtragwerken 133

4.1 Allgemeines 133

4.2 Gleichgewicht am verformten System 133

4.3 Ergänzung der virtuellen Arbeit 137

4.4 Knotengleichgewicht unter Berücksichtigung von Verformungen 143

4.5 Geometrische Steifigkeitsmatrix 145

4.6 Sonderfall: Biegung mit Druck- bzw. Zugnormalkraft 150

4.7 Vorverformungen und geometrische Ersatzimperfektionen 154

4.8 Berechnungen nach Theorie II. Ordnung und Nachweisschnittgrößen 158

4.9 Stabilitätsuntersuchungen/Verzweigungslasten 165

4.10 Eigenformen/Knickbiegelinien 167

4.11 Fließgelenktheorie 171

5 Anwendungsbeispiele für Stabtragwerke 175

5.1 Übersicht 175

5.1.1 Allgemeines 175

5.1.2 Nachweis ausreichender Querschnittstragfähigkeit 176

5.1.3 Stabilitätsnachweise für Stäbe 183

5.1.4 Auswahl der Elementtypen und -matrizen 187

5.1.5 Tragfähigkeitsmindernde Einflüsse 189

5.2 Träger 190

5.2.1 Vorbemerkungen 190

5.2.2 Einfeldträger mit Kragarm 190

5.2.3 Traglast eines Zweifeldträgers 193

5.2.4 Zweifeldträger mit elastischem Mittelauflager 197

5.2.5 Träger mit planmäßiger Torsion 199

5.2.6 Kranbahnträger 201

5.3 Stützen und andere Druckstäbe 205

5.3.1 Vorbemerkungen 205

5.3.2 Elastisch eingespannte Rohrstütze 205

5.3.3 Stütze mit planmäßiger Biegung und drei Stabilitätsfällen 207

5.3.4 Giebelwandeckstütze 210

5.4 Fachwerke 214

5.4.1 Vorbemerkungen 214

5.4.2 Ebener Fachwerkbinder 214

5.4.3 Montagezustand des Torbinders einer Flugzeughalle 218

5.5 Rahmen und Stabwerke 220

5.5.1 Vorbemerkungen 220

5.5.2 Zweigelenkrahmen mit Zwischenbühne 221

5.5.3 Rahmen unter Berücksichtigung von Anschlusssteifigkeiten 225

5.5.4 Haupttragwerk einer Stabbogenbrücke 231

5.5.5 Silodachkonstruktion 235

5.6 Trägerroste 239

5.6.1 Vorbemerkungen 239

5.6.2 Fahrbahn einer Stabbogenbrücke 240

6 FEM für ebene Flächentragwerke – Plattenbeulen 242

6.1 Scheiben und Platten 242

6.2 Spannungen und Schnittgrößen 242

6.3 Verschiebungsgrößen 244

6.4 Grundlegende Beziehungen 245

6.5 Prinzip der virtuellen Arbeit 247

6.6 Scheiben und Platten im Stahlbau 249

6.7 Steifigkeitsmatrix für ein Plattenelement 251

6.8 Geometrische Steifigkeitsmatrix für das Plattenbeulen 255

6.9 Längs- und querausgesteifte Platten 256

6.10 Plattenbeulnachweise nach DIN EN 1993-1-5 258

6.11 Berechnung von Beulspannungen und Beulflächen 264

6.12 Anwendungsbeispiele zum Plattenbeulen 271

6.12.1 Vorbemerkungen 271

6.12.2 Einzelfeld mit konstantem σx 271

6.12.3 Ein- und zweiwellige Beulflächen, gleiche Beulspannungen 274

6.12.4 Stegblech einer Verbundbrücke mit Schubbeanspruchung 276

6.12.5 Stegblech mit Biegebeanspruchung 277

6.12.6 Bodenblech mit Längssteife 279

6.12.7 Vollwandträgersteg mit Längssteifen 283

6.12.8 Veränderte Anordnung der Längssteifen 292

7 FEM für Stabquerschnitte 294

7.1 Aufgabenstellungen 294

7.2 Normierte Bezugssysteme und Querschnittskennwerte 296

7.3 Prinzip der virtuellen Arbeit 299

7.4 Eindimensionale Elemente für dünnwandige Querschnitte 304

7.4.1 Virtuelle Arbeit 304

7.4.2 Elementsteifigkeitsbeziehungen 306

7.4.3 Gleichungssysteme 309

7.4.4 Berechnungen der Querschnittswerte und Spannungen 311

7.4.5 Zusammenstellung 314

7.5 Zweidimensionale Elemente für dickwandige Querschnitte 315

7.5.1 Vorbemerkungen 315

7.5.2 Virtuelle Arbeit für dickwandige Querschnittselemente 317

7.5.3 Elementgeometrie 318

7.5.4 Transformationsbeziehungen 321

7.5.5 Steifigkeitsbeziehungen 323

7.5.6 Numerische Integration 325

7.5.7 Querschnittswerte und Spannungen 328

7.5.8 Güte der Näherungslösungen 329

7.5.9 Sonderfall: Rechteckige Elemente 331

7.6 Berechnungsablauf 335

7.7 Anwendungsbeispiele 337

7.7.1 Vorbemerkungen 337

7.7.2 Einzelliger Hohlkastenquerschnitt 337

7.7.3 Brückenquerschnitt mit Trapezsteifen 342

7.7.4 Rechteckiger Vollquerschnitt 345

7.7.5 Doppeltsymmetrischer I-Querschnitt 351

7.7.6 Kranschiene 358

7.7.7 Numerische Erfassung des Schubverzerrungseinflusses auf die Normalspannungsverteilung 360

7.8 Schubkorrekturfaktoren 362

8 Gleichungssysteme 367

8.1 Problemstellung 367

8.2 Lösungsverfahren 368

8.3 Gaußscher Algorithmus 369

8.4 Cholesky-Verfahren 370

8.5 Gaucho-Verfahren 370

8.6 Berechnungsbeispiel 372

8.7 Ergänzende Hinweise 374

9 Lösung von Eigenwertproblemen 375

9.1 Problemstellung 375

9.2 Erläuterungen zum Verständnis 376

9.3 Matrizenzerlegungsverfahren 381

9.4 Inverse Vektoriteration 386

9.5 Kombination der Lösungsverfahren 392

10 FEM für nichtlineare Berechnungen von Stäben nach der Fließzonentheorie 395

10.1 Einführung 395

10.1.1 Vorbemerkungen 395

10.1.2 Grundlegende Einführungsbeispiele 395

10.2 Hinweise zu geometrisch nichtlinearen Berechnungen 398

10.3 Berücksichtigung der physikalischen Nichtlinearität 402

10.3.1 Vorbemerkungen 402

10.3.2 Einführungsbeispiel 402

10.3.3 Dehnungsiteration für σx-Schnittgrößen 406

10.4 Grundlagen und Annahmen für Berechnungen nach der Fließzonentheorie 413

10.4.1 Vorbemerkungen 413

10.4.2 Werkstoffgesetz 413

10.4.3 Imperfektionen 416

10.4.4 Zum Einfluss der Imperfektionen 420

10.5 Gleichgewicht 422

10.5.1 Inkrementelles Gleichungssystem nach Theorie II. Ordnung 422

10.5.2 Verallgemeinertes inkrementell-iteratives Verfahren 428

10.5.3 Bogenlängenverfahren 432

10.6 Steifigkeitsmatrix für Bauteile mit Fließzonen 434

10.7 Berechnungsbeispiele 438

10.7.1 Fließzonenberechnungen auf Grundlage von DIN EN 1993 438

10.7.2 Berechnungen mit dem Programm FE-STAB-FZ 439

10.7.3 Bauteile mit doppeltsymmetrischen I-Querschnitten 440

10.7.4 Stütze HEA 140 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung 443

10.7.5 Einfeldträger IPE 300 mit Druckkraft und planmäßiger Biegung 445

10.7.6 Stütze IPE 300 mit Einspannung am Stützenfuß 447

10.7.7 Einfeldträger IPE 450 mit Kragarm 449

10.7.8 Zweifeldriger Kranbahnträger HEB 300 451

10.7.9 Biegung und Torsion eines Versuchsträgers IPE 200 454

10.7.10 Zweiachsig außermittig belastete Versuchsstütze HEB 200 457

10.7.11 Auswirkungen von Fließzonen auf die Tragfähigkeit 461

11 Grundlagen zur Beschreibung des plastischen Materialverhaltens 465

11.1 Einleitung 465

11.2 Grundlegende mechanische Beziehungen 466

11.2.1 Spannungs- und Verzerrungstensor 466

11.2.2 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen 469

11.3 Beschreibung der Plastizität 472

11.3.1 Fließkriterium 472

11.3.2 Verfestigungsregel 476

11.3.3 Fließregel 480

11.4 Hinweise zur Berücksichtigung der Plastizität in numerischen Berechnungen 486

Literaturverzeichnis 489

Stichwortverzeichnis 495

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Matthias Kraus studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Universität Darmstadt. Von 2001 bis 2010 war er am Lehrstuhl für Stahl- und Verbundbau der Ruhr-Universität Bochum tätig, zunächst als Wissenschaftlicher Mitarbeiter und nach der Promotion 2005 in der Funktion des Oberingenieurs. Im Jahre 2010 wechselte er als Oberingenieur und Abteilungsleiter Tragwerksplanung zur Ingenieursozietät Schürmann — Kindmann und Partner in Dortmund und übernahm Lehraufträge an der Ruhr-Universität Bochum und der Vietnamese-German University in Ho-Chi-Minh Stadt. Im Jahre 2015 folgte er dem Ruf an die Bauhaus-Universität Weimar zum Lehrstuhlinhaber der Professur Stahl- und Hybridbau.
Univ.-Prof. em. Dr.-Ing. Rolf Kindmann studierte Bauingenieurwesen an der Ruhr-Universität Bochum. Von 1974 bis 1989 war er für sechs Jahre als Wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Ruhr-Universität Bochum und für zehn Jahre in verschiedenen Positionen bei Thyssen Engineering tätig, zuletzt als Hauptabteilungsleiter aller technischen Büros. Im Jahre 1990 wurde er zum Ordinarius des Lehrstuhls für Stahl- und Verbundbau an der Ruhr-Universität Bochum ernannt und im Jahre 1991 gründete er die Ingenieursozietät Schürmann — Kindmann und Partner SKP in Dortmund, in der er als Beratender Ingenieur, Prüfingenieur für Baustatik (Fachrichtungen Metall- und Massivbau) sowie als Gutachter wirkte. Seit Beendigung seiner Tätigkeit als Gesellschafter ist Herr Prof. Kindmann der Ingenieursozietät SKP weiterhin eng verbunden.