Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.
Innehållsförteckning
1 Einleitung.- 1.1 Die axiomatische Methode.- 1.2 Formale Systeme.- 1.3 Metamathematik.- 1.4 Die Unvollständigkeitssätze.- 1.5 Die Gödel’sche Arbeit.- 2 Die formalen Grundlagen der Mathematik.- 2.1 Das logizistische Programm.- 2.2 Die natürlichen Zahlen.- 2.3 Principia Mathematica.- 2.4 Axiomatische Mengenlehre.- 3 Beweisskizze.- 3.1 Arithmetische Formeln.- 3.2 Arithmetisierung der Syntax.- 3.3 Ich bin unbeweisbar!- 3.4 Gödel, Richard und der Lügner.- 4 System P.- 4.1 Syntax.- 4.2 Semantik.- 4.3 Axiome und Schlussregeln.- 4.4 Formale Beweise.- 4.5 Arithmetisierung der Syntax.- 5 Primitiv-rekursive Funktionen.- 5.1 Definition und Eigenschaften.- 5.2 Auswahl primitiv-rekursiver Funktionen und Relationen.- 5.3 Entscheidungsverfahren.- 5.4 Satz V.- 6 Die Grenzen der Mathematik.- 6.1 Gödels Hauptresultat.- 6.2 Der erste Unvollständigkeitssatz.- 6.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz.- Literaturverzeichnis.- Bildnachweis.- Lebensdaten.- Namensverzeichnis.- Sachwortverzeichnis.
Om författaren
Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe – Technik und Wirtschaft. Vom ihm ist im gleichen Verlag das Werk „Grenzen der Mathematik“ erschienen.
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