La théorie classique des suites de Sturm fournit un algorithme pour déterminer le nombre de racines d’un polynôme à coefficients réels contenues dans un intervalle donné. L’objet principal de ce mémoire est de montrer qu’une généralisation adéquate de la théorie des suites de Sturm fournit entre autres choses:
- une notion d’indice de Maslov pour un lacet algébrique de lagrangiens défini sur un anneau commutatif;
- une démonstration du théorème fondamental de la K-théorie (algébrique) hermitienne, théorème dû à M. Karoubi;
- une démonstration des théorèmes de périodicité de Bott (topologique), dans l’esprit des travaux de F. Latour;
- un calcul du groupe K2 relatif, symplectique-linéaire, pour tous les anneaux commutatifs, dans l’esprit des travaux de R. Sharpe.
Le livre est dans la mesure du possible « self-contained » et élémentaire: il met essentiellement en oeuvre des arguments d’algèbre linéaire ou bilinéaire. Il présente une approche unifiée de l’indice de Maslov en termes de suites de Sturm et de formes quadratiques.
Table des matières
Algèbre linéaire symplectique.- Sur la «composante connexe» du point base dans la lagrangienne infinie.- Le théorème fondamental de la K-théorie hermitienne, à la Karoubi-Villamayor.- Suites de Sturm et H2 de l’homomorphisme hyperbolique.- Généralisations.
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