Esta monografía ofrece una revisión enteramente novedosa del campo usualmente denominando ‘filosofía (de la) matemática’. Allende análisis y síntesis, se introducen nuevos modelos (RTHK) para captar toda la complejidad de la matemática, entendida como forma de pensamiento general, donde se incorpora de manera potente un estrato de ideas, imágenes y métodos que entra en diálogo con otro estrato de técnicas, definiciones y pruebas. Mediante modelos de Kripke (K), se vislumbran consideraciones históricas que permiten manejar simultáneamente perspectivas externalistas e internalistas en la historia de la ciencia. Con los haces (H), se estudian interpretaciones fenomenológica sobre la variabilidad y la permanencia local de los fenómenos matemáticos. Usando topos (T), se plantean investigaciones metafísicas sobre la existencia de arquetipos matemáticos que emergen de diversos tipos subyacentes y que, a su vez, se proyectan sobre ellos. Finalmente, gracias a las superficies de Riemann (R), se exploran diversas ramificaciones culturales del modelo (THK) hacia la literatura, el arte, la música, el cine.
El resultado plantea el inicio de una plena crítica matemática , que debería empezar a surgir paralelamente a la crítica literaria, la crítica de arte, la crítica musical o la crítica cinematográfica. Considerando las obras matemáticas como grandes formas de expresión creativa, un back-and-forth entre lo concreto y lo abstracto, entre lo particular y lo universal, entre el detalle técnico y el fondo filosófico, recorre multitud de ejemplos de las matemáticas avanzadas, de Galois a Grothendieck, que se reflejan y se entrelazan con muy diversas manifestaciones culturales. La ‘filosofía (de la) matemática’ tiende así a abrirse hacia una ‘crítica (de la) matemática’, que parece ser mucho más afín para captar el hacer propio y específico de la disciplina.
Cuprins
Contenido
Introducción
Capítulo 0 Hacia una razón extendida. Formas alternativas del entendimiento
0.1 Las tramas del revés. Razón y co-razón
0.2 Ampliaciones del entendimiento 1900-1940
0.2.1 El summum bonum de Peirce
0.2.2 La razonabilidad de Vaz Ferreira
0.2.3 El alba creativa de Valery
0.2.4 La perspectiva invertida de Florenski
0.2.5 La lirosofía de Epstein
0.2.6 La dinamografía de Warburg
0.2.7 La residualidad de Benjamin
0.2.8 El surracionalismo de Bachelard
0.3 Gestos y triadas para un saber alternativo
Capítulo 1 (H) Haces. Fenomenología del pensamiento matemático
1.1 La matemática como pensamiento: técnica y conceptualidad
1.2 Breve recordatorio sobre haces
1.3 El pensamiento matemático como un haz
1.4 Ejemplos (I)
1.4.1 Galois (H). Negación y estructura en la Primera Memoria
1.4.2 Riemann (H). Multiplicidad y unidad en la Tesis Doctoral
1.4.3 Poincare (H). Continuidad y linealidad en el Analysis situs
1.4.4 Cantor (H). Corte y saturación en los Beiträge
1.4.5 Hilbert (H). Lo real y lo ideal en Sobre el infinito
1.4.6 Gödel (H). Control y exceso en la incompletitud
1.4.7 Grothendieck (H). Lo étalé y lo étale en EGA
1.5 Despliegues de la razón y pliegues de la co-razón
1.6 El homeomorfismo local y los sueños de Leibniz y de Peirce
1.7 El problema de las topologías para la base
Capítulo 2 (HK) Haces sobre Modelos de Kripke. Historia del pensamiento matemático
2.1 Breve recordatorio sobre modelos de Kripke intuicionistas y modales
2.2 Haces sobre modelos de Kripke
2.3 Ejemplos (II)
2.3.1 Galois y Riemann (HK). Superficies
2.3.2 Cantor y Poincare (HK). Topologias
2.3.3 Hilbert y Godel (HK). Consistencias
2.3.4 Grothendieck (HK). Arquetipos
2.4 Tránsitos y obstrucciones
2.5 Las historias interna y externa
2.6 El problema de las transformaciones del pasado
Capítulo 3 (THK) Topos de Haces sobre Kripke. Metafísica del pensamiento matemático
3.1 Breve recordatorio sobre topos de Grothendieck
3.2 Topos de haces sobre modelos de Kripke
3.3 Ejemplos (III)
3.3.1 Galois (THK). Teoría de la ambigüedad
3.3.2 Riemann (THK). Teoría de la complejificación
3.3.3 Poincaré (THK). Teoría de la reticularización cualitativa
3.3.4 Cantor (THK). Teoría de la buena ordenación
3.3.5 Hilbert (THK). Teoría de la basificación
3.3.6 Gödel (THK). Teoría de la limitación/excedencia
3.3.7 Grothendieck (THK). Teoría de la suavización
3.4 Abstracción META: tipos y arquetipos
3.5 Dualidad CO: proyectividad e inyectividad
3.6 El problema de las propiedades globales
Capítulo 4 (RTHK) Superficies de Riemann sobre el (THK). Entrelazamientos con la cultura
4.1 Breve recordatorio sobre superficies de Riemann
4.2 Las ramificaciones del pensamiento matemático
4.3 El Blow-Up (R) sobre el (THK)
4.4 Ejemplos (IV)
4.4.1 Galois (RTHK). Turner, Hugo, Liszt
4.4.2 Riemann (RTHK). Novalis, Beethoven, Rodin
4.4.3 Poincaré (RTHK). Dostoievski, Chaicovski, Cézanne
4.4.4 Cantor (RTHK). Melville, Mahler, Monet
4.4.5 Hilbert (RTHK). Proust, Rodchenko, Welles
4.4.6 Gödel (RTHK). Mondrian, Musil, Wiene
4.4.7 Grothendieck (RTHK). Picasso, Lowry, Tarkovski
4.5 El problema de los tránsitos y las obstrucciones en la cultura
4.6 Un nuevo cálculo diferencial e integral para el entendimiento
Bibliografía
Índice onomástico
Índice de materias
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